Холодно. Пью.
Вот я и добрался до книжки А.Я. Хинчина "Три жемчужины теории чисел".
Она начинается с письма на фронт
ПИСЬМО НА ФРОНТ.
Милый Серёжа!
Ваше письмо, присланное из госпиталя, трижды меня обрадовало. Прежде всего, Ваша просьба прислать Вам "каких-нибудь математических жемчужинок" показала мне, что Вы действительно поправляетесь, а не просто хотите, как мужественный боец, успокоить своих друзей. Это было для меня первой радостью.
Далее, Вы заставили меня задуматься над тем, почему в эту войну вот такие совсем юные бойцы, как Вы, при каждой небольшой передышке со всей страстью рвутся к своему любимому делу — к тому делу, которому они отдали себя ещё до войны и от которого были оторваны войной. В прошлую мировую войну этого не было. Тогда юноша, попавший на фронт, почти всегда чувствовал, что жизнь его переломилась, что всё, чем он жил прежде, стало для него невозможной сказкой. А сейчас ведь есть такие, которые в перерывах между боями пишут диссертации и защищают их, приехав в короткий отпуск! Не потому ли это, что Вы ощущаете всем существом Ваш ратный труд и Ваше любимое занятие — науку, искусство, практическую деятельность — как два звена одного и того же великого дела? И если так, то не есть ли это ощущение одна из главных движущих пружин ваших побед, которыми мы здесь, в тылу, так восхищаемся? Эта мысль очень меня обрадовала, и это была моя вторая радость.
И вот я стал думать о том, что бы такое Вам послать. Я Вас не очень близко знаю — всего один год Вы слушали мои лекции; и всё же у меня осталась твёрдая уверенность в Вашем глубоком и серьёзном отношении к науке, и мне не хотелось поэтому посылать Вам каких-нибудь "побрякушек", внешне эффектных, но научно мало содержательных. С другой стороны, я знал, что Ваша подготовка очень невелика — всего один год Вы провели на университетской скамье, а за три года непрерывного пребывания на фронте вряд ли имели время учиться. Поразмыслив несколько дней, я сделал выбор. Удачен он или нет — об этом судите уж Вы. Что касается меня, то я считаю те три теоремы арифметики, которые я Вам посылаю, настоящими жемчужинами нашей науки.
В арифметике, этой самой древней, но вечно юной ветви математики, от времени до времени встают замчательные, своеобразные задачи: по своему содержанию они так элементарны, что их может понять каждый школьник; речь идёт обычно о доказательстве какого-нибудь очень простого закона, господствующего в мире чисел; закона, который во всех проверенных частных случаях оказывался верным, и требуется установить, что он действительно верен всегда. И вот, несмотря на всю кажущуюся простоту задачи, решение её годами, а подчас и столетиями, не поддаётся усилиям самых крупных учёных эпохи. Согласитесь, что это очень увлекательно.
Я выбрал для Вас три таких задачи; все они разрешены в недавнее время, и в исторической судьбе их имеется две замечательных общих черты. Во-первых, все три задачи решены самыми элементарными арифметическими методами (не надо только смешивать элементарности с простотой: решения всех трёх задач, как Вы увидите, не очень просты, и Вам придётся затратить немало усилий, чтобы хорошо их понять и усвоить). Во-вторых, все три задачи, после ряда безуспешных атак со стороны "маститых" учёных, были решены совсем молодыми, начинающими математиками, юнцами едва ли не Вашего возраста. Правда, какой это многообещающий стимул для начинающих учёных вроде Вас, какой замечательный призыв к научному дерзанию?
Работа над изложением этих теорем заставила меня глубже вникнуть в структуру их великолепных доказательств и принесла мне большую радость.
Это была моя третья радость.
Желаю Вам самых лучших успехов — боевых и научных.
24 марта 1945 г.
Ваш А.Я. Хинчин.
Первая глава
Первая глава посвящена теореме Ван дер Вардена о бесконечных арифметических прогрессиях. Формулировка задачи очень простая: представим себе, что множество всех натуральных чисел каким угодно способом разбито на две части (например, на числа чётные и нечётные, или на числа простые и составные, или любым другим способом); можно ли тогда утверждать, что по меньшей мере в одной из этих двух частей найдутся арифметические прогрессии сколь угодно длинные (под длиной арифметической прогрессии понимается просто число её членов)?
Ван дер Варден доказал даже более общее утверждение: для любых натуральных k, l найдётся такое натуральное число n(k, l), что при разбиении любого отрезка натурального ряда длины n(k, l) любым способом на k классов (среди которых могут быть и пустые), по крайней мере в одном из этих классов найдётся арифметическая прогрессия длины l.
Вторая глава
Вторая глава посвящена представлению последовательностей в виде суммы других последовательностей, к примеру, последовательность квадратов 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... (обозначим её Q) в сумме Q+Q+Q+Q даёт весь натуральный ряд, т.е. любое натуральное число можно представить в виде суммы не более, чем четырёх квадратов.
В книге рассматриваются вопросы, о том, представим ли весь натуральный ряд в виде суммы какого-то конечного числа последовательностей (в таком случае говорим, что последовательности образуют базис натурального ряда, количество слагаемых называем порядком базиса), а также как возможность такого представления зависит от густоты последовательности (точнее, от плотности последовательности, которая определяется, как нижняя граница дроби A(n) / n, где A(n) — число членов последовательности, не превосходящих n). Теорема Шнирельмана, которая доказывается во второй главе, утверждает, что если последовательность имеет положительную плотность, то она образует базис натурального ряда. В книге приведено доказательство двух математиков, Артина и Шерка, которые доказали теорему позже, но используя элементарные методы, при этом само доказательство отнюдь не просто.
Третья глава
В третьей главе доказывается теорема, решающая проблему, сформулированную в 18 веке Варингом: для любого натурального n последовательность n-х степеней натуральных чисел 0, 1, 2^n, 3^n, ... образует базис натурального ряда, порядок которого зависит, конечно, от n. Эту теорему впервые доказал Гильберт в 1907 году, а в 1942 г. Ю.В. Линник нашёл доказательство элементарными методами. При доказательстве используется теорема Шнирельмана, которая рассматривалась во второй главе.
Вот какими словами автор книги А.Я. Хинчин по окончанию доказательства закончил книгу:
"Доказательство это, прекрасное по своей элементарности, несомненно покажется Вам очень сложным. Но Вам стоит поработать над ним 2-3 недели с бумагой и карандашом в руках, чтобы полностью понять и усвоить его. Именно на преодолении такого рода трудностей растёт и развивается математик".
Она начинается с письма на фронт
ПИСЬМО НА ФРОНТ.
Милый Серёжа!
Ваше письмо, присланное из госпиталя, трижды меня обрадовало. Прежде всего, Ваша просьба прислать Вам "каких-нибудь математических жемчужинок" показала мне, что Вы действительно поправляетесь, а не просто хотите, как мужественный боец, успокоить своих друзей. Это было для меня первой радостью.
Далее, Вы заставили меня задуматься над тем, почему в эту войну вот такие совсем юные бойцы, как Вы, при каждой небольшой передышке со всей страстью рвутся к своему любимому делу — к тому делу, которому они отдали себя ещё до войны и от которого были оторваны войной. В прошлую мировую войну этого не было. Тогда юноша, попавший на фронт, почти всегда чувствовал, что жизнь его переломилась, что всё, чем он жил прежде, стало для него невозможной сказкой. А сейчас ведь есть такие, которые в перерывах между боями пишут диссертации и защищают их, приехав в короткий отпуск! Не потому ли это, что Вы ощущаете всем существом Ваш ратный труд и Ваше любимое занятие — науку, искусство, практическую деятельность — как два звена одного и того же великого дела? И если так, то не есть ли это ощущение одна из главных движущих пружин ваших побед, которыми мы здесь, в тылу, так восхищаемся? Эта мысль очень меня обрадовала, и это была моя вторая радость.
И вот я стал думать о том, что бы такое Вам послать. Я Вас не очень близко знаю — всего один год Вы слушали мои лекции; и всё же у меня осталась твёрдая уверенность в Вашем глубоком и серьёзном отношении к науке, и мне не хотелось поэтому посылать Вам каких-нибудь "побрякушек", внешне эффектных, но научно мало содержательных. С другой стороны, я знал, что Ваша подготовка очень невелика — всего один год Вы провели на университетской скамье, а за три года непрерывного пребывания на фронте вряд ли имели время учиться. Поразмыслив несколько дней, я сделал выбор. Удачен он или нет — об этом судите уж Вы. Что касается меня, то я считаю те три теоремы арифметики, которые я Вам посылаю, настоящими жемчужинами нашей науки.
В арифметике, этой самой древней, но вечно юной ветви математики, от времени до времени встают замчательные, своеобразные задачи: по своему содержанию они так элементарны, что их может понять каждый школьник; речь идёт обычно о доказательстве какого-нибудь очень простого закона, господствующего в мире чисел; закона, который во всех проверенных частных случаях оказывался верным, и требуется установить, что он действительно верен всегда. И вот, несмотря на всю кажущуюся простоту задачи, решение её годами, а подчас и столетиями, не поддаётся усилиям самых крупных учёных эпохи. Согласитесь, что это очень увлекательно.
Я выбрал для Вас три таких задачи; все они разрешены в недавнее время, и в исторической судьбе их имеется две замечательных общих черты. Во-первых, все три задачи решены самыми элементарными арифметическими методами (не надо только смешивать элементарности с простотой: решения всех трёх задач, как Вы увидите, не очень просты, и Вам придётся затратить немало усилий, чтобы хорошо их понять и усвоить). Во-вторых, все три задачи, после ряда безуспешных атак со стороны "маститых" учёных, были решены совсем молодыми, начинающими математиками, юнцами едва ли не Вашего возраста. Правда, какой это многообещающий стимул для начинающих учёных вроде Вас, какой замечательный призыв к научному дерзанию?
Работа над изложением этих теорем заставила меня глубже вникнуть в структуру их великолепных доказательств и принесла мне большую радость.
Это была моя третья радость.
Желаю Вам самых лучших успехов — боевых и научных.
24 марта 1945 г.
Ваш А.Я. Хинчин.
Первая глава
Первая глава посвящена теореме Ван дер Вардена о бесконечных арифметических прогрессиях. Формулировка задачи очень простая: представим себе, что множество всех натуральных чисел каким угодно способом разбито на две части (например, на числа чётные и нечётные, или на числа простые и составные, или любым другим способом); можно ли тогда утверждать, что по меньшей мере в одной из этих двух частей найдутся арифметические прогрессии сколь угодно длинные (под длиной арифметической прогрессии понимается просто число её членов)?
Ван дер Варден доказал даже более общее утверждение: для любых натуральных k, l найдётся такое натуральное число n(k, l), что при разбиении любого отрезка натурального ряда длины n(k, l) любым способом на k классов (среди которых могут быть и пустые), по крайней мере в одном из этих классов найдётся арифметическая прогрессия длины l.
Вторая глава
Вторая глава посвящена представлению последовательностей в виде суммы других последовательностей, к примеру, последовательность квадратов 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... (обозначим её Q) в сумме Q+Q+Q+Q даёт весь натуральный ряд, т.е. любое натуральное число можно представить в виде суммы не более, чем четырёх квадратов.
В книге рассматриваются вопросы, о том, представим ли весь натуральный ряд в виде суммы какого-то конечного числа последовательностей (в таком случае говорим, что последовательности образуют базис натурального ряда, количество слагаемых называем порядком базиса), а также как возможность такого представления зависит от густоты последовательности (точнее, от плотности последовательности, которая определяется, как нижняя граница дроби A(n) / n, где A(n) — число членов последовательности, не превосходящих n). Теорема Шнирельмана, которая доказывается во второй главе, утверждает, что если последовательность имеет положительную плотность, то она образует базис натурального ряда. В книге приведено доказательство двух математиков, Артина и Шерка, которые доказали теорему позже, но используя элементарные методы, при этом само доказательство отнюдь не просто.
Третья глава
В третьей главе доказывается теорема, решающая проблему, сформулированную в 18 веке Варингом: для любого натурального n последовательность n-х степеней натуральных чисел 0, 1, 2^n, 3^n, ... образует базис натурального ряда, порядок которого зависит, конечно, от n. Эту теорему впервые доказал Гильберт в 1907 году, а в 1942 г. Ю.В. Линник нашёл доказательство элементарными методами. При доказательстве используется теорема Шнирельмана, которая рассматривалась во второй главе.
Вот какими словами автор книги А.Я. Хинчин по окончанию доказательства закончил книгу:
"Доказательство это, прекрасное по своей элементарности, несомненно покажется Вам очень сложным. Но Вам стоит поработать над ним 2-3 недели с бумагой и карандашом в руках, чтобы полностью понять и усвоить его. Именно на преодолении такого рода трудностей растёт и развивается математик".
@темы: Хочу поделиться прочитанным, Эта книга ест мой мозг, Не читайте это под страхом смерти, Только для взрослых